Ecuaciones de 2do grado o cuadráticas

Se llama ecuación cuadrática, o de segundo grado, con una incógnita a toda aquella que tiene la forma general reducida ax2 + bx + c = 0, siendo a ¹ 0. El coeficiente a se llama cuadrático o principal, b es el coeficiente lineal y c el término independiente.

Si todos los coeficientes de la ecuación son distintos de cero, se dice que es completa.

Si el coeficiente lineal o el término constante son nulos, la ecuación es incompleta.

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde  a, b, y c son números reales.

Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

9×2 + 6x + 10 = 0        a = 9, b = 6, c = 10

3×2  – 9x  + 0  = 0        a = 3, b = –9, c = 0  (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6×2 + 0x + 10 = 0       a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:

Solución por factorización

En toda ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

método por factorización 1

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

método por factorización 2

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

método por factorización 3

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2×2 + 5x − 12 = 0

2×2 + 5x = 12

2×2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma

Ejemplo en vídeo.

 

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la competición de cuadrados porque se puede completar un cuadrado geométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)2 = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.

Partiendo de una ecuación del tipo

x2 + bx + c = 0

por ejemplo, la ecuación

x2 + 8x = 48, que también puede escribirse   x2 + 8x − 48 = 0

Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de la suma de un binomio del tipo
(ax + b)2

Que es lo mismo que

(ax + b) (ax + b)

Que es lo mismo que

ax2 + 2axb + b2

En nuestro ejemplo

x2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese número debe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la suma de un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 = 16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos

x2 + 8x + 16 = 48 + 16

x2 + 8x + 16 = 64

La cual, factorizando, podemos escribir como sigue:

(x + 4) (x + 4) = 64

Que es igual a

(x + 4)2 = 64

Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemos

método por factorización 4

Nos queda

x + 4 = 8

Entonces

x = 8 − 4

x = 4

 

Ejemplo en vídeo.

Solución por la fórmula general 

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

método por factorización 5

La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita, entonces, a identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

La fórmula general para resolver una ecuación de segundo grado sirve para resolver cualquier ecuación de segundo grado, sea completa o incompleta, y obtener buenos resultados tiene que ver con las técnicas de factorización.

Ejemplo:

Resolver la ecuación  2×2 + 3x − 5 = 0

Vemos claramente que a = 2,     b = 3   y     c = −5, así es que:

método por factorización 6

Ahora, tenemos que obtener las dos soluciones, con el + y con el:

método por factorización 7     Y también    método por factorización 8

Así es que las soluciones son

método por factorización 9

Ejemplo en vídeo.

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